Brian Durán

Tarea: Sesión 2 y 3

I Parte

Sea \(P=(2,3)\), \(Q=(5,2)\), \(R=(2,-5)\) y \(S=(1,-2)\). Calcule \(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\).

\(\vec{PQ}\)

q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p
pq

[1]  3 -1

\(\vec{RS}\)

r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r
rs

[1] -1  3

\(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\)

r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r

q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p

proy <- project(rs, pq)

fractions(proy)

[1] -9/5  3/5

Sea \(u = (-2,1,6)\) y \(v = (2,4,5)\), comprueba que el vector \(w\) dado por \(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\) Es un vector ortogonal con \(v\)

Calculamos:

\(u \cdot v\)

u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
sum(u*v)

[1] 30

\({\|v\|^2}\)

v <- c(2,4,5)
norm(v, type="2")^2

[1] 45

\(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\)

v <- c(2,4,5)
v2 <- norm(v, type="2")^2

u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
prod_punto_u_v = sum(u*v)

w = u - ((prod_punto_u_v / v2) * v)

w = fractions(w)

sum(w*v)

[1] 0

subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))

[1] 1.570796

180*subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))/pi

[1] 90

\(W _{\bot } V ?\)

w es ortogonal con v, ya que la múltiplicación entre ellos es igual a cero. Además de que el ángulo que los separa es igual a \(\pi\ /2\)

Sean \(A=(3,0,0)\), \(B=(1,0,2)\), \(C=(2,3,0)\) puntos en el espacio (\(R^3\)).

Con estos puntos: a. Determine si el triángulo \(ABC\) es rectángulo, obtusángulo o acutángulo. b. Determine el perímetro del triángulo \(ABC\) c. Determine el área del triángulo ABC

a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- c-a

Respuesta: El triángulo es acutángulo, ya que todos sus ángulos se encuentran entre 0 y 90 grados.

a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

norma_ab + norma_bc + norma_ca

[1] 9.732362


a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

perimetro <- norma_ab + norma_bc + norma_ca

semiperimetro <- perimetro / 2

# Por formula de Héron
area = sqrt(semiperimetro * (semiperimetro - norma_ab) * (semiperimetro - norma_bc) * (semiperimetro - norma_ca))

area

[1] 4.358899

II Parte

Compruebe que la matriz P, es ortogonal:

p <- matrix(c(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 
              (1/sqrt(2)), -(1/sqrt(2)), 0, 0, 
              (1/sqrt(6)), (1/sqrt(6)), -(2/sqrt(6)), 0, 
              (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), -(3/(2*sqrt(3)))), 
              nrow=4, ncol=4, byrow=TRUE)

matriz_p <- fractions(p)

matriz_p

     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2            1/2            1/2            1/2
[2,]      2378/3363     -5741/8119              0              0
[3,]    19402/47525    19402/47525  -86329/105731              0
[4,]   75658/262087   75658/262087   75658/262087 -489061/564719

p_inversa <- solve(matriz_p)

fractions(p_inversa)

     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2      2378/3363    19402/47525   75658/262087
[2,]            1/2     -5741/8119    19402/47525   75658/262087
[3,]            1/2              0  -86329/105731   75658/262087
[4,]            1/2              0              0 -489061/564719

p_transpuesta <- t(p)

fractions(p_transpuesta)

     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2      2378/3363    19402/47525   75658/262087
[2,]            1/2     -5741/8119    19402/47525   75658/262087
[3,]            1/2              0  -86329/105731   75658/262087
[4,]            1/2              0              0 -489061/564719

La matriz P es ortogonal puesto que su inversa y su transpuesta son iguales.

Demuestre que A es indempotente.

a <- matrix(c(2, -2, -4, 
              -1, 3, 4,
              1, -2, -3), 
              3, 3, byrow=TRUE)


a

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2   -2   -4
[2,]   -1    3    4
[3,]    1   -2   -3

a%*%a

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2   -2   -4
[2,]   -1    3    4
[3,]    1   -2   -3

La matriz A es idempotente puesto que es igual a ella misma al cuadrado.

Determine la composición \(f(m)\)

m <- matrix(c(3/2, -5/2, 
              2/3, -1/3), 
              2, 2, byrow=TRUE)

fractions(m)

     [,1] [,2]
[1,]  3/2 -5/2
[2,]  2/3 -1/3

m3 <- m%*%m%*%m

m2 <- m%*%m

fx = 6*m3 + 3*m2 - m

fractions(fx)

     [,1]   [,2]  
[1,]  -37/6  -55/6
[2,]   22/9 -116/9

Encuentre la matriz inversa y el determinante de cada una de las siguientes matrices:


a <- matrix(c(1, 2, 3, 
              2, 5, 7,
              -2, -4, -5), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(a)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    3   -2   -1
[2,]   -4    1   -1
[3,]    2    0    1

det(a)

[1] 1

b <- matrix(c(3, -2, -1, 
              -4, 1, -1,
              2, 0, 1), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(b)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    2    5    7
[3,]   -2   -4   -5

det(b)

[1] 1

c <- matrix(c(0, 2, 1, 
              1, 3, -1,
              -1, 1, 2), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(c)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]  3.5 -1.5 -2.5
[2,] -0.5  0.5  0.5
[3,]  2.0 -1.0 -1.0

det(c)

[1] 2

d <- matrix(c(3, 6, 9, 
              2, 5, 1,
              1, 1, 8), 
              3, 3, byrow=TRUE)

det(d)

[1] 0

La última matriz no tiene inversa puesto que el determinante es cero, es decir la matriz es singular o invertible.

Que relación existe entra las matrices que poseen inversas y el valor de su determinante? Sug: revisar la teoría vista en clase.

Autor Brian Duran

bduran0393@gmail.com

---
output: html_notebook
---

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 margin-left: 30px;
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```

### Brian Durán
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<h1><center> Tarea: Sesión 2 y 3 </center></h1>

</br>

#### I Parte

</br>

1. Sea $P=(2,3)$, $Q=(5,2)$, $R=(2,-5)$ y $S=(1,-2)$. Calcule $proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}$.

  $\vec{PQ}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p
pq

```

  $\vec{RS}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r
rs

```

</br>

$proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r

q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p

proy <- project(rs, pq)

fractions(proy)

```

</br>

2. Sea $u = (-2,1,6)$ y $v = (2,4,5)$, comprueba que el vector $w$ dado por $w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v$
Es un vector ortogonal con $v$

Calculamos:

$u \cdot v$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
sum(u*v)
```

${\|v\|^2}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
v <- c(2,4,5)
norm(v, type="2")^2
```

$w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v$


```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
v <- c(2,4,5)
v2 <- norm(v, type="2")^2

u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
prod_punto_u_v = sum(u*v)

w = u - ((prod_punto_u_v / v2) * v)

w = fractions(w)

sum(w*v)

subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))

180*subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))/pi

```

$W _{\bot } V ?$

w es ortogonal con v, ya que la múltiplicación entre ellos es igual a cero. Además de que el ángulo que los separa es igual a $\pi\ /2$



3. Sean $A=(3,0,0)$, $B=(1,0,2)$, $C=(2,3,0)$ puntos en el espacio ($R^3$). 

Con estos puntos:
  a. Determine si el triángulo $ABC$ es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.
  b. Determine el perímetro del triángulo $ABC$
  c. Determine el área del triángulo ABC


a.
```{r}
a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

angulo_ab_bc = 180*subspace(ab, bc)/pi
angulo_bc_ca = 180*subspace(bc, ca)/pi
angulo_ab_ca = 180*subspace(ab, ca)/pi

angulo_ab_bc
angulo_bc_ca
angulo_ab_ca

```

Respuesta: El triángulo es acutángulo, ya que todos sus ángulos se encuentran entre 0 y 90 grados.


b.

```{r}
a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

norma_ab + norma_bc + norma_ca
```


c.
```{r}

a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

perimetro <- norma_ab + norma_bc + norma_ca

semiperimetro <- perimetro / 2

# Por formula de Héron
area = sqrt(semiperimetro * (semiperimetro - norma_ab) * (semiperimetro - norma_bc) * (semiperimetro - norma_ca))

area

```




</br>

#### II Parte

</br>


1. Compruebe que la matriz P, es ortogonal:

```{r}
p <- matrix(c(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 
              (1/sqrt(2)), -(1/sqrt(2)), 0, 0, 
              (1/sqrt(6)), (1/sqrt(6)), -(2/sqrt(6)), 0, 
              (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), -(3/(2*sqrt(3)))), 
              nrow=4, ncol=4, byrow=TRUE)

matriz_p <- fractions(p)

matriz_p


p_inversa <- solve(matriz_p)

fractions(p_inversa)


p_transpuesta <- t(p)

fractions(p_transpuesta)

```

La matriz P es ortogonal puesto que su inversa y su transpuesta son iguales.


2. Demuestre que A es indempotente.


```{r}
a <- matrix(c(2, -2, -4, 
              -1, 3, 4,
              1, -2, -3), 
              3, 3, byrow=TRUE)


a

a%*%a

```


La matriz A es idempotente puesto que es igual a ella misma al cuadrado.


3. Determine la composición $f(m)$

```{r}
m <- matrix(c(3/2, -5/2, 
              2/3, -1/3), 
              2, 2, byrow=TRUE)

fractions(m)

m3 <- m%*%m%*%m

m2 <- m%*%m

fx = 6*m3 + 3*m2 - m

fractions(fx)

```



4. Encuentre la matriz inversa y el determinante de cada una de las siguientes matrices:

```{r}

a <- matrix(c(1, 2, 3, 
              2, 5, 7,
              -2, -4, -5), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(a)
det(a)

b <- matrix(c(3, -2, -1, 
              -4, 1, -1,
              2, 0, 1), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(b)
det(b)


c <- matrix(c(0, 2, 1, 
              1, 3, -1,
              -1, 1, 2), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(c)
det(c)

d <- matrix(c(3, 6, 9, 
              2, 5, 1,
              1, 1, 8), 
              3, 3, byrow=TRUE)

det(d)

```

La última matriz no tiene inversa puesto que el determinante es cero, es decir la matriz es singular o invertible.


Que relación existe entra las matrices que poseen inversas y el valor de su determinante? Sug: revisar la teoría vista en clase.




<!-- ----------------------------------------------------------- -->
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&nbsp;

<hr />
<p style="text-align: center;">Autor <a href="https://github.com/bdurans">Brian Duran</a></p>
<p style="text-align: center;"><span style="color: #808080;"><em>bduran0393@gmail.com</em></span></p>

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<a href="https://github.com/bdurans/tec_data_science_course/tree/master/mathematics_for_data_science/session_4_and_5_homework" class="github-corner" aria-label="View source on GitHub"><svg width="80" height="80" viewBox="0 0 250 250" style="fill:#151513; color:#fff; position: absolute; top: 0; border: 0; right: 0;" aria-hidden="true"><path d="M0,0 L115,115 L130,115 L142,142 L250,250 L250,0 Z"></path><path d="M128.3,109.0 C113.8,99.7 119.0,89.6 119.0,89.6 C122.0,82.7 120.5,78.6 120.5,78.6 C119.2,72.0 123.4,76.3 123.4,76.3 C127.3,80.9 125.5,87.3 125.5,87.3 C122.9,97.6 130.6,101.9 134.4,103.2" fill="currentColor" style="transform-origin: 130px 106px;" class="octo-arm"></path><path d="M115.0,115.0 C114.9,115.1 118.7,116.5 119.8,115.4 L133.7,101.6 C136.9,99.2 139.9,98.4 142.2,98.6 C133.8,88.0 127.5,74.4 143.8,58.0 C148.5,53.4 154.0,51.2 159.7,51.0 C160.3,49.4 163.2,43.6 171.4,40.1 C171.4,40.1 176.1,42.5 178.8,56.2 C183.1,58.6 187.2,61.8 190.9,65.4 C194.5,69.0 197.7,73.2 200.1,77.6 C213.8,80.2 216.3,84.9 216.3,84.9 C212.7,93.1 206.9,96.0 205.4,96.6 C205.1,102.4 203.0,107.8 198.3,112.5 C181.9,128.9 168.3,122.5 157.7,114.1 C157.9,116.9 156.7,120.9 152.7,124.9 L141.0,136.5 C139.8,137.7 141.6,141.9 141.8,141.8 Z" fill="currentColor" class="octo-body"></path></svg></a><style>.github-corner:hover .octo-arm{animation:octocat-wave 560ms ease-in-out}@keyframes octocat-wave{0%,100%{transform:rotate(0)}20%,60%{transform:rotate(-25deg)}40%,80%{transform:rotate(10deg)}}@media (max-width:500px){.github-corner:hover .octo-arm{animation:none}.github-corner .octo-arm{animation:octocat-wave 560ms ease-in-out}}</style>

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